解の公式より、$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$
また、$x^3 + 1 = 0$ の左辺を因数分解すると、$(x + 1)(x^2 - x + 1) = 0$ となることから、$\alpha, \beta$ は $x^3 + 1 = 0$ の解となる。
また、$\alpha = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$ とすると、
$\alpha^2 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$
$\alpha^3 = -1$
$\alpha^4 = \alpha^3 \times \alpha = - \alpha$
$\alpha^5 = \alpha^4 \times \alpha = - \alpha^2$
$\alpha^6 = \alpha^5 \times \alpha = - \alpha^3 = 1$
$\alpha^7 = \alpha^6 \times \alpha = \alpha$
$\vdots$
このように６種類の値をぐるぐる回る。（$\frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2} = cos(\frac{\pi}{3}) \pm isin({\frac{\pi}{3}})$ だから 60 度ずつ単位円を回転させると6回で一周する。）
$\beta$ も同様に調べると、
$\beta = \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$
$\beta^2 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$
$\beta^3 = -1$
$\beta^4 = \beta^3 \times \beta = - \beta$
$\beta^5 = \beta^4 \times \beta = - \beta^2$
$\beta^6 = \beta^5 \times \beta = - \beta^3 = 1$
$\beta^7 = \beta^6 \times \beta = \beta$
$\vdots$
$\alpha^{49} + \beta^{49}$ だが、「49」とは 6 で割ると 1 余る数である。つまり、$\alpha^{49} = \alpha$ である。$\beta$ も同様に考えれば $\alpha^{49} + \beta^{49} = 1$
$\alpha^{50} + \beta^{50}$ も同様に考えれば答えが出るだろう。
ただし、$\alpha$ と $\beta$ を入れ替えても答えは変わらないことに注意されたい。